Pages

Olasılık


Faktöriyel: ( ! ) sembolü ile gösterilir.örneğin n! demek 1′den n’e kadar olan sayılarının yanyana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek 1′den 5′e kadar sayıların yanyana yazılıp çarpılmasıdırn!=1.2.3.4.5………n
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
10!=7!.8.9.10
6!=4!.5.6
örnek:
5!/3!=1.2.3.4.5/1.2.3=120/6=20
n!/(n-1)!=(n-1)!.n/(n-1)!=n
FAKTÖRİYELLER
1.x ve n sayma sayıları olmak üzere, 21! = 2n.x ise, n nin alabileceği  en büyük değer kaçtır?
a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

2. n bir doğal sayı olmak üzere, 67! / 15n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n nin en büyük değeri kaç olmalıdır?
a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19

3.m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m>n olmak üzere, m!/n! + 4 = 94 ise, n kaçtır  ?
a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

4.2! + 3! + 4! + … + 1472!  toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5.6! + 7! + 8!  toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez ?
a) 3b) 5c) 15d) 25e) 45

6.18! sayısı, 16! sayısının kaç katıdır?
a) 16b) 18c) 34d) 306e) 645

7.f(a)=(a+2)! ise, f(3) – f(2) = ?
a) 1b) 4c) 5d) 16e) 96

8.120! – 83! – 1 sayısının sonunda kaç tane dokuz vardır?
a) 18b) 19c) 20d) 21e) 22


9.n.(n+1)! = 72 ise, n kaçtır?
a) 3b) 6c) 8d) 9e) 36

YANITLAR : 1-C 2-A 3-B 4-B 5-D 6-D 7-E 8-B 9-A

PERMÜTASYON NEDİR?
Genel çarpma kuralı: veya kelimesi geçerse toplarız.(1 şiir veya 1 hikaye)
ve kelimesi geçerse çarparız.(1 şiir ve 1 hikaye)
Permütasyon; birbirinden farklı elemanların değişik şekillerde sıralanışını gösterir.
Permütasyon olan ifadelerde:
Kaç türlü sıralanabilir?
Kaç türlü yazılabilir?
Kaç türlü dizilebilir yada poz verilebilir?
Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir?
Halka ve yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir?
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonu:
P(n,r)=n! / (n-r)!
P(n,n)= n!    p(0,0)= 1
P(n,0)= 1    P(n,1)= n
Dairesel Permütasyon: (n-2)!
PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK SORULAR
örnek: A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A şehrinden C şehrine gitmek isteyen bir kişi kaç değişik şekilde gider?3 . 5 = 15 değişik şekilde gider.
örnek: 10 kişilik bir ekipten bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç değişik biçimde seçilir?
10 . 9 = 90 değişik şekilde seçilir.
örnek: 6 kişi , 2 kişilik bir sıraya kaç değişik şekilde oturur?
P(6,2)=6! / (6-2)!
P(6,2)=720 / 24 = 30 değişik şekilde oturur.
örnek: 6 kişi yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 farklı şekilde dizilebilir.
OLASILIK NEDİR?
Çıktı: Bir deneyde elde edilecek sonuçların herbirine denir.
Evrensel küme: Çıktıların oluşturduğu kümeye evrensel küme denir.Evrensel kümeye her eleman 1 kez yazılır. KAHRAMANMARAŞ kelimesinin harflerini inceleyelim.
E=(K,A,H,R,M,N,Ş) s(E)=7
Örnek uzay: Bir deneyde gelebilecek çıktılar kümesine denir.Herbir çıktı ayrı ayrı yazılır.
Ö=(K,A,H,R,A,M,A,N,M,A,R,A,Ş)
Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denir.Yani olması istenen çıktıların kümesine denir.
K olma olayı (K) 1 elemanlı
A olma olayı (A,A,A,A,A) 5 elemanlı
Bağımlı olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştiriyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.

Bağımsız olaylar:
 İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.
Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir. o(A)=1 olan olaylardır.
Örneğin sınava çalışmayan bir öğrencinin sınavdan kötü not alması kesin bir olaydır.
İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. o(A)=0 olan olaylardır. Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır.
Olasılık: P(A)=S(A) / S(E)
Bir olayın olasılığı=istenilen durumların sayısı / tüm durumların sayısı
p(A)=0 ise imkansız olay=gerçekleşmesi mümkün değil
P(A)=1 ise kesin olay=gerçekleşmesi kesin
Herhangi bir olayın olmama olasılığı:
P’(A) = 1 – P(A)
Örnek: Ö=(M,A,R,M,A,R,A) s(Ö)=7
çekilen bir harfin A olma olasılığı O(A)=3/7
çekilen bir harfin A olmama olasılığı O(A’)=1-3/7=4/7
Bağımsız olay:
Birbirlerini etkilemiyorlarsa(para-zar)
P(A Ç B)= P(A) . P(B)
örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor.Paranın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
P(A Ç B)= 1/2 . 1/6 = 1/12
Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B)
örnek: Bir kutuda 1′den 10′a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır.Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5
Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A Ç B)
örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3′ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?
E=(1,2,3,4,5,6)
A=(4,5,6)
B=(2,4,6)
A Ç B=(4,6)
P(AUB)= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

     Problem: Okan, alfabemizdeki bütün harfleri aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazarak boş bir kutuya atmıştır. Emel, kutudan rasgele bir kâğıt çekmiştir.
     Çekilen kâğıtta ünlü harf olma olasılığı nedir?
     Deney: Eş özelliklere sahip kâğıt üzerine yazılmış olan alfabemizdeki harflerden birinin seçilmesi.
     Örnek uzay:
     O={alfabemizdeki tüm harfler} veya
     Ö={a,b,c,ç,d,e,f,g,ğ,h,ı,i,j,k,l,m,n,o,ö,p,r,s,ş,t,u,ü,v,y,z}, s(Ö)=29
     Olay:
     H={bir ünlünün çekilmesi}veya H={a,e,ı,i,o,ö,u,ü},
s(H)=8
     Olayın çıktıları:
     a, e, ı, i, o, ö, u, ü
     Eş olasılıklı olma: Her bir harfin çekilme olasılığı eşittir.
 
          Evrensel kümede her bir eleman bir kez yazılır fakat örnek uzayda çıktılar kaç tane ise o kadar yazılır.
    Örnek:
    a. “MATEMATİK” kelimesinin harflerinden oluşan evrensel küme: E={M, A, T, E, İ, K}
    b. “Matematik” kelimesinin her bir harfi aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazılarak torbaya atılmıştır.
     “Bakmadan bir kâğıt çekildiğinde çıkan harfin “A” olma olasılığı nedir?” sorusundaki örnek uzay:     
     Ö={M, A, T, E, M, A, T, İ, K} 

OLASILIK ÇEŞİTLERİ NELERDİR?
Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir. Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz.
örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 3/20
Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denir.Genelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridir.İstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz.
örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 1/6
Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denir.Bu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır.
örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.Ali’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4′tür. Ayşe’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6′dır.

{ 0 yorum... read them below or add one }

Yorum Gönder